Author(s): David Smith and Lang Moore

Artikel ini dapat digunakan sebagai salah satu referensi pada mata kuliah Pemodelan Matematika. Ikuti tautan berikut untuk pembaahasan selengkapnya.

1. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Latar Belakang
2. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Model Persamaan Diferensial
3. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Metode Euler
4. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Hubungan Parameter dengan Data
5. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Jumlah Kontak
6. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Kekebalan
7. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Ringkasan

Author(s): David Smith and Lang Moore                                                               Kembali

1. Explain briefly the modeling steps that lead to the SIR model.
2. Given a population and disease combination for which the SIR model is appropriate, what are the possible outcomes when a trace of infection is introduced into the population? How can you tell whether there will be an epidemic?
3. Does "epidemic" mean that almost everyone will get the disease? If so, what keeps the spread of disease going? If not, what causes the epidemic to end before everyone gets sick?
4. How can it happen that a large percentage of a population may get sick during an epidemic even though only a small percentage is sick at any one time?
5. Explain briefly the key idea for finding solutions of an SIR model without finding explicit solution formulas.
6. Describe briefly the meaning and significance of contact number.
7. Describe briefly the meaning and significance of herd immunity. How can an inoculation program lead to herd immunity?
8. The contact number for poliomyelitis in the U.S. in 1955 was 4.9. Explain why we have been able to eradicate this disease even though we cannot eradicate measles. Give a careful argument -- "smaller contact number" is an observation, not an explanation.

Link Artikel

• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Latar Belakang
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Model Persamaan Diferensial
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Metode Euler
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Hubungan Parameter dengan Data
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Jumlah Kontak
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Kekebalan
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Ringkasan

Author(s): David Smith and Lang Moore                                                               Kembali

Setiap strain flu memberi kekebalan di masa yang akan datang bagi pengidapnya. Untuk penyakit seperti ini, jika hampir semua orang mengalaminya, maka mereka yang belum mengalami akan terlindung dari darinya sehingga tidak cukup suseptibilitas tersisa di populasi untuk memungkinkan epidemi terjadi. Perlindungan seperti ini disebut kekebalan kelompok.

Pada Bagian 3 kita bereksperimen dengan ukuran relatif pada b dan k, dan kita temukan bahwa, jika b lebih kecil dari k, maka tidak ada epidemi yang dapat berkembang. Kemudian pada Bagian 4, jika jumlah kontak c = b/k cukup kecil, maka tidak akan ada kasus epidemi. Namun cara lain untuk mencegah terjadinya epidemi adalah dengan mengurangi populasi pada individu rentan secara artifisial dengan inokulasi.

Inti dari inokulasi adalah menciptakan kekebalan kelompok dengan merangsang antibody sebanyak mungkin yang dapat memberikan kekebalan. Dengan demikian inokulasi menciptakan jalur langsung dari kelompok individu rentan ke kelompok individu yang pulih tanpa melewati kelompok terinfeksi (lihat diagram di bawah). Dan program inokulasi berskala besar untuk mencegah epidemi yang akan datang cukup cepat untuk menurunkan populasi rentan ke tingkat yang aman sehingga jika tingkat infeksi masuk ke populasi, beberapa orang mungkin sakit, namun tidak ada epidemi yang akan berkembang.

Jadi, berapa proporsi penduduk yang harus diinokulasi untuk mendapatkan kekebalan kelompok? Atau, dengan kata lain, seberapa kecil s0 yang harus dipenuhi untuk memastikan bahwa epidemi tidak dapat dimulai? Itu tergantung pada jumlah kontak.

1. Mengontrol terjadinya kasus epidemi sama dengan menjaga di/dt tetap negatif dari  t = 0 dan seterusnya, mengapa demikian?

2. Tulis ruas kanan dari persamaan diferensial proporsi individu terinfeksi

Jelaskan mengapa salah satu faktor selalu positif dan mengapa tanda faktor lain tergantung pada s (t)?

3. Jelaskan mengapa s(t) merupakan fungsi turun, sehingga memiliki nilai terbesar pada t=0. Hal ini berakibat, jika di/dt negatif pada waktu 0, maka ia tetap negatif.

4. Tunjukkan bahwa

Jelaskan mengapa, jika s0 kurang dari 1/c, maka tidak ada epidemi yang bisa berkembang.

5. Dari tahun 1912 hingga 1928, jumlah kontak untuk kasus campak di AS adalah 12,8. Jika kita berasumsi bahwa c masih 12,8 dan inokulasi 100% efektif (setiap orang yang diinokulasi memperoleh kekebalan dari penyakit), berapa proporsi populasi yang harus diinokulasi untuk mencegah epidemi?

6. Anggaplah vaksin hanya 95% efektif. Berapa proporsi penduduk harus diinokulasi untuk mencegah epidemi campak?

Link Artikel

• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Latar Belakang
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Model Persamaan Diferensial
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Metode Euler
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Hubungan Parameter dengan Data
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Jumlah Kontak
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Kekebalan
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Ringkasan

Author(s): David Smith and Lang Moore                                                               Kembali

Pada Bagian sebelumnya kita anggap parameter b dan k dapat diperkirakan, sehingga dimungkinkan untuk menghasilkan solusi numerik dari persamaan diferensial. Bahkan, seperti yang telah kita lihat, proporsi k yang pulih dari infeksi pada hari tertentu dapat diperkirakan melalui pengamatan pada individu terinfeksi. Secara khusus, k kurang lebih adalah kebalikan dari jumlah hari yang dibutuhkan bagi individu yang sakit untuk dapat menginfeksi orang lain. Pada sebagian besar penyakit menular, waktu infeksi diperkirakan sama untuk kebanyakan orang terinfeksi dan dikenal melalui observasi.

Pada bagian ini kita akan melihat cara tak langsung untuk mengamati parameter b. Pertimbangkan rasio dari b ke k :

Rasio ini kita sebut jumlah kontak, ditulis c = b/k. Jumlah kontak c adalah karakteristik gabungan dari populasi dan penyakit. Pada populasi yang sama, ia mengukur penularan penyakit yang relatif, karena memberitahu kita secara tidak langsung berapa banyak kontak yang cukup dekat untuk benar-benar menyebarkan penyakit. Kalkulus dapat kita gunakan untuk menunjukkan bahwa c dapat diperkirakan setelah proses epidemi berlangsung. Dengan demikian b dapat dihitung sebagai c k.

Kembali kita lihat persamaan diferensial untuk s dan i sebagai berikut:

Kita dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana dari kedua persamaan dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama - dengan catatan kita dapat memahami arti pada ruas kiri.

1. Gunakan aturan rantai untuk menjelaskan kenapa diperoleh bentuk:

Persamaan diferensial pada langkah 1 menentukan (kecuali untuk ketergantungan pada kondisi awal) proporsi yang terinfeksi i sebagai fungsi dari proporsi rentan s. Kita akan menggunakan solusi dari persamaan diferensial ini untuk dua kondisi awal khusus, untuk menggambarkan cara menentukan jumlah kontak.

Tiga bagian dari persamaan diferensial baru ini penting untuk diperhatikan:

• Satu-satunya parameter yang muncul adalah c.
• Persamaannya tidak bergantung pada waktu. Artinya, apa pun yang kita pelajari tentang hubungan antara i dan s berlaku untuk seluruh durasi epidemi.
• Ruas kanan adalah fungsi eksplisit dari s, yang sekarang menjadi variabel independen.

2. Tunjukkan bahwa i(s) berbentuk:

     dimana q adalah konstanta.

3. Jelaskan mengapa

    harus bebas dari waktu.

Kita dapat mengetahui (atau dapat memperkirakan) nilai-nilai i dan s sebanyak 2 kali, yaitu pada t = 0 dan t = tak hingga. Untuk penyakit seperti flu Hong Kong, i(0) sekitar 0 dan s(0) sekitar 1. Setelah proses epidemi berlangsung lama, kita memilikidapat i(tak hingga) kembali ke sekitar 0, dan s(tak hingga) berada pada nilai titik tetapnya. Jika ada pelaporan yang baik dari jumlah kasus yang terinfeksi penyakit, maka titik tetap dapat diamati sebagai proporsi populasi yang bebas penyakit.

4. Untuk kasus epidemi semacam itu, jelaskan mengapa

[Petunjuk: Gunakan fakta bahwa kuantitas pada langkah 3 sama pada saat t = 0 dan t =  tak hingga].

5. Gunakan salah satu solusi numerik pada sub bab sebelumnya untuk memperkirakan nilai s(tak hingga). Gunakan nilai ini untuk menghitung jumlah kontak c untuk kasus flu Hong Kong lalu bandingkan hasilnya dengan nilai yang dihitung berdasarkan definisi, c = b/k.

Link Artikel

• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Latar Belakang
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Model Persamaan Diferensial
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Metode Euler
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Hubungan Parameter dengan Data
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Jumlah Kontak
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Kekebalan
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Ringkasan

Author(s): David Smith and Lang Moore                                                               Kembali

Rata-rata periode infeksi untuk Flu Hong Kong diketahui sekitar tiga hari, sehingga estimasi k = 1/3 yang kita gunakan mungkin tidak terlalu jauh. Adapun estimasi b yang kita gunakan hanyalah tebakan. Lebih lanjut, perkiraan yang baik tentang "laju kontak" populasi pasti akan tergantung pada banyak karakteristik populasi, seperti tingkat kepadatan penduduk. Pada bagian ini, kita akan melakukan ujicoba efek parameter pada solusi, lalu mencoba untuk menemukan nilai yang sesuai dengan data kematian yang terjadi di New York City. Kita fokuskan percobaan pada kelompok individu terinfeksi, i(t), karena kelompok ini memberikan informasi terkait perkembangan penularan penyakit.

1. Percobaan pertama kita lakukan dengan perubahan pada nilai parameter b dengan nilai k tetap 1/3. Plot grafik i(t) dengan beberapa nilai b antara 0,5 dan 2,0. Jelaskan bagaimana efek perubahan b ini terhadap grafik i(t). Tetap waspada untuk perubahan otomatis pada skala vertikal. Untuk memudahkan pengamatan, variasikan warna dan overlay grafik secara berurutan.
2. Jelaskan secara singkat mengapa perubahan yang terjadi pada model epidemi dapat diterima secara intuitif.
3. Selanjutnya lakukan percobaan dengan perubahan pada nilai k. Kembali gunakan b=1/2 dengan perubahan nilai k yang berbeda pada rentang 0,1 dan 0,6. Jelaskan perubahan yang terjadi pada grafik i(t). Kembali waspada untuk perubahan otomatis pada skala vertikal. Untuk memudahkan pengamatan, variasikan warna dan overlay grafik secara berurutan.
4. Jelaskan perubahan yang terjadi pada model sesuai dengan pemahaman anda secara intuitif.
5. Perhatikan bahwa terdapat perubahan karakter grafik i(t) pada rentang nilai k yang digunakan (0,1 - 0,6). Perubahan apa yang terjadi dan di mana hal itu terjadi?
6. Gunakan persamaan diferensial proporsi individu terinfeksi untuk menjelaskan bagaimana dapat memperkirakan nilai k dimana karakter grafik i(t) berubah.
7. Sekarang kita bandingkan model dengan data. Ingat bahwa ini adalah jumlah kematian setiap minggu yang dapat dikaitkan dengan kasus epidemi flu. Jika kita berasumsi bahwa proporsi kematian di antara individu terinfeksi adalah konstan, maka jumlah kematian per minggu secara kasar harus sebanding dengan jumlah orang yang terinfeksi pada beberapa minggu sebelumnya. Perhatikan kembali grafik data dan grafik i(t) dengan nilai k = 1/3 dan b = 6/10. Apakah model itu tampak masuk akal atau tidak? Jelaskan kesimpulan Anda.

Link Artikel

• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Latar Belakang
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Model Persaman Diferensial
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Metode Euler
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Hubungan Parameter dengan Data
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Jumlah Kontak
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Kekebalan
• Model SIR untuk Penyebaran Penyakit - Ringkasan